امروز: چهارشنبه 30 خرداد 1397
دسته بندی محصولات
بخش همکاران
بلوک کد اختصاصی

بررسی تعریف نوسان

بررسی تعریف نوسان دسته: ریاضی
بازدید: 2 بار
فرمت فایل: doc
حجم فایل: 938 کیلوبایت
تعداد صفحات فایل: 100

تعریف نوسان یك حركت رفت و برگشتی ساده می باشد كه در زمانهای مساوی عیناً تكرار می شود (مثل شخصی كه تاب بازی می‌كند) این حركت حول یك نقطه بنام مركز نوسان صورت می پذیرد و همواره نیرویی (مثل نیروی فنر) می خواهد نوسانگر را به مركز نوسان باز گرداند

قیمت فایل فقط 11,000 تومان

خرید

تعریف نوسان: یك حركت رفت و برگشتی ساده می باشد كه در زمانهای مساوی عیناً تكرار می شود (مثل شخصی كه تاب بازی می‌كند). این حركت حول یك نقطه بنام مركز نوسان صورت می پذیرد و همواره نیرویی (مثل نیروی فنر) می خواهد نوسانگر را به مركز نوسان باز گرداند.

در موقعیت 0 وزنه با بیشترین سرعت رو به بالا حركت می كند و در موقعیت p متوقف می شود و فنر كاملاً فشرده می گردد اكنون وزنه بیشترین فاصله تا مركز نوسان را دارد و فنری كه فشرده شده وزنه را رو به پایین هل می دهد وزنه در موقعیتq دارای بیشترین سرعت رو به پایین است و در این موقعیت هیچ فاصله ای تا مركز نوسان ندارد. در موقعیت m (مشابه موقعیت p) وزنه دارای بیشترین فاصله تا مركز نوسان است اما متوقف می باشد و سپس در موقعیت n (مشابه موقعیت 0,q) مجدداً به مركز نوسان باز می گردد اگر این موقعیتها را (مانند نوار قلبی) به هم وصل كنیم یك شكل موج سینوسی ساخته می شود كه چگونگی حركت وزنه را نشان می دهد.

تعریف بعد: فاصله نوسانگر (وزنه) را در هر لحظه تا مركز نوسان نشان می دهد مثلاً در موقعیتهای (n,q,0) بعد صفر است زیرا در مركز نوسان هستیم و در موقعیتهای (m,p) بیشترین بعد را داریم.

تعریف دامنه: بیشترین فاصله نوسانگر تا مركز نوسان (موقعیتهای m,p) می باشد كه به آن بعد بیشینه یا دامنه می گوییم و آنرا با نماد A نشان می دهیم ymax=A پس یك دامنه مثبت در بالا و یك دامنه منفی در پایین داریم.

تعیین علامتها: دیدیم كه یك شكل موج سینوسی چگونه تشكیل می شود این شكل را به چهار ربع فرضی مساوی تقسیم می كنیم (هر ربع 90 درجه است) و قراردادهای زیر را در نظر می گیریم.

1- هرگاه نوسانگر بالای محور تعادل باشد (مثل ربعهای اول و دوم) بعد مثبت است و اگر زیر محور تعادل باشد (مثل ربعهای سوم و چهارم) بعد منفی است.

2- هرگاه نوسانگر رو به بالا حركت كند سرعتش مثبت است مثل ربهای اول و چهارم و هرگاه رو به پایین حركت كند سرعتش منفی است مثل ربعهای دوم و سوم.

نتیجه گیری: هرجا بعد صفر است سرعت بیشینه است و برعكس یعنی بعد و سرعت از لحاظ اندازه همیشه متضاد هم هستند.

نتیجه گیری: در هر حركت نوسانی بعد و سرعت هر كدام 2 بار صفر و یا 2 بار بیشینه می شوند برای شتاب و نیرو (كه بعداً بحث می شوند) نیز همین طور است.

دایره مرجع: در حقیقت وزنه متصل به فنر در راستای قائم نوسان می كند و یك پاره خط را می سازد كه دارای دو دامنه (در بالا و پایین) است. می توانیم برای حل سریعتر تستها از دایره مثلثاتی استفاده كنیم. همانطوری كه می دانیم زاویه ها به صورت پاد ساعتگرد زیاد می شوند. به آن دایره مرجع می گوییم.


نتیجه گیری: به طور كلی هر پاره خط در هر حركت نوسانی دوبار پیموده می شود یكبار در حالت رفت و بار دیگر در حالت بازگشت. (مطابق شكل بالا) پس می توان نوشت.

یك نوسان كامل = رفت + برگشت

مثلاً اگر نوسانگری 30 بار طول پاره خطی را بپیماید یعنی 15 دور كامل را طی كرده است.

یادآوری: 1- دوره تناوب: مدت زمانی كه طول می كشد تا یك نوسان كامل انجام شود. در شكل زیر بازه های زمانی یك نوسان كامل را می بینیم.

2- بسامد: تعداد دورهایی كه نوسانگر در یك ثانیه می زند فركانس یا بسامد است با واحد هرتز:

J نكته 1 (فرمول تی ان تی):

H مثال 1: در شكل زیر نوسان گر 3 دور كامل را پیموده است. دوره تناوب و بسامد و بسامد زاویه ای آنرا بدست آورید.

بررسی معادله بعد-زمان: فرض كنید كه وزنه در مركز نوسان قراردارد و می‌خواهد رو به بالا حركت كند (یعنی از موقعیت 1 تا 2 مطابق شكل) روی قطر قائم دایره مشاهده می كنیم كه وزنه به اندازه y بالا می رود. از مركز دایره تا نقطه 2 (به اندازه شعاع دایره) پاره خطی می كشیم و زاویه آنرا تا مركز نوسان  می نامیم.

وقتی نوسانگر در مبدا زمان (t=0) در مركز نوسان باشد (موقعیت 1) بعد اولیه ندارد (y0=0) و فاز اولیه آن نیز صفر است

H مثال 2: نوسانگری در زمان یك دقیقه 15 دور كامل می زند. اگر طول پاره خط 3cm باشد و فاز اولیه صفر باشد معادله بعد زمان را نوشته و در بازه (1 تا 4) ثانیه بررسی كنید.

J نكته 2 (زوایای هم خانواده): تسلط بر این زوایا در مبحث نوسان بسیار مهم است. این زوایا دارای سینوسهای مساوی و هم علامت هستند (بشرطی كه در ربع اول و دوم باشند. هرگاه از مخرج زوایای  یكی كم كنیم و حاصل را در صورتشان ضرب كنیم زوایای هم خانواده آنها بدست می آید.

بررسی معادله بعد زمان: در بررسی معادله بعد زمان بدون فاز اولیه دیدیم كه وزنه از مركز نوسان شروع به حركت نمود. اما اگر نوسانگر در لحظه t=0 در مركز نوسان نباشد و تا مركز نوسان زاویه  بسازد دارای بعد اولیه و نیز فاز اولیه است. (موقعیت 1) سپس به اندازه  تغییر فاز می دهد و زاویه اش به  تبدیل می شود.

 H مثال 3: اگر در یك حركت نوسانی ساده، فاز حركت در لحظه  ثانیه معادل  باشد و فاز اولیه  باشد بسامد نوسان چند هرتز است؟

 H مثال 4: معادله حركت ذره ای در SI به صورت  است. این ذره در زمان 20 ثانیه چند نوسان كامل انجام می‌دهد؟

J نكته 3:

 H مثال 5: بعد اولیه یك حركت سینوسی با دامنه 6cm و فاز اولیه  چند سانتی‌متر است؟

H مثال 6: دوره یك حركت سینوسی 4 ثانیه و دامنه آن 3cm است اگر فاز اولیه  باشد بعد آن در لحظه  ثانیه چند سانتی متر است؟

H مثال 7: ذره ای دارای حركت نوسانی ساده با دامنه 4cm و دوره 2 ثانیه می باشد اگر در لحظه t=0 بعدش -2cm بوده و سرعتش مثبت باشد معادله حركتش را تعیین كنید.

H مثال 8: ذره ای روی یك محور پاره خط به طول 8cm حركت نوسانی ساده با دوره 0.48 ثانیه دارد، اگر در لحظه  ثانیه فاصله ذره از مركز نوسان  سانتی متر و سرعتش مثبت باشد فاز اولیه آن را تعیین كنید.

نیم دایره های طلایی: بین زمانها و زاویه های پیموده شده تناسب وجود دارد مثلاً یك دوره تناوب هم ارز 360 درجه است .

360

270

180

90

60

45

30

15

زاویه (درجه)

زاویه (رادیان)

T

هم ارز زمان

به عنوان یك قاعده ساده هرگاه مخرج زوایا برحسب رادیان را ضربدر 2 كنیم هم ارز زمانی آنها تعیین می شود مثل .

در شكلهای زیر زاویه های مهم و فاصله بین آنها را تعیین كرده ایم.

J نكته 4: هرگاه لحظه صفر یا بیشینه شدن بعد یا سرعت را بخواهیم ابتدا تعیین می‌كنیم كه فاز اولیه چیست و سپس فاز نهایی را تعیین می كنیم و از رابطه  و یا از تناسب استفاده می كنیم و یادآوری می كنیم كه در فاز  سرعت صفر و بعد بیشینه است و در فاز  سرعت بیشینه و بعد صفر است و الی آخر.

 H مثال 9: در یك حركت نوسانی به معادله  چند ثانیه پس از لحظه t=0 برای اولین بار بعد حركت بیشینه می‌شود.

 H مثال 10: یك حركت نوسانی به معادله  پس از گذشت چند ثانیه مقدار بعد برای اولین بار پس از لحظه t=0 صفر می شود؟

J نكته 5: این نكته به ما می آموزد كه چگونه تستهای دشوار و پارامتری را براحتی حل كنیم. در زوایای هم خانواده  بعد همیشه نصف دامنه است در زوایای هم خانواده  بعد  دامنه و در زوایای  بعد  دامنه است

دقت كنید كه همیشه 4 نقطه روی دایره مثلثاتی وجود دارند كه هم خانواده هستند مثلاً در زوایای  و  و منفی آنها همیشه بعد نصف دامنه است

H مثال 11: اگر 6 ثانیه طول بكشد تا نوسانگری از موقعیت  برای اولین بار به موقعیت  و سرعت منفی برسد دوره حركت چند ثانیه است؟

H مثال 12: نوسانگر ساده ای در یك لحظه بعدش  و  ثانیه بعد  و  ثانیه سپس از این - می شود نسبت  كدام است؟

معادله سرعت زمان: هرگاه از معادله بعد زمان مشتق بگیریم معادله سرعت زمان بدست می آید دقت كنید كه همیشه پشت عبارت مثلثاتی مقدار ماكزیمم تابع قرار دارد.  یك عدد است و مشتق آن صفر است.

یادآوری: وقتی نوسانگر از مركز نوسان می گذرد سرعتش بیشینه است و وقتی به دو انتهای مسیر می رسد سرعتش صفر می شود پس هرگاه به مركز نوسان نزدیك شود حركتش تند شونده و هرگاه دور شود كند شونده است.

H مثال 13: معادله حركت یك نوسان كننده در SI،  است. سرعت نوسان كننده در لحظه  ثانیه چند متر بر ثانیه است؟

 H مثال 14: معادله سرعت نوسانگری در SI، به صورت  می باشد در لحه  ثانیه فاصله نوسانگر از مركز نوسان چند سانتی متر است؟ (آزاد ریاضی 82)

H مثال 15: در حركت نوسانی  كه از مكانهای مثبت آ‎غاز می‌شود اندازه سرعت در لحظه t=0.08 ثانیه برای اولین بار ماكزیمم می شود فاز اولیه نوسانگر را تعیین كنید.

فرمول مستقل از زمان: هرگاه سرعت نوسانگر در موقعیتی خاص و بدون داشتن زمان خواسته شود از رابطه زیر استفاده می كنیم كه علامت مثبت برای حركت رو به بالای وزنه و منفی برای حركت رو به پایین است.

H مثال 16: بسامد زاویه نوسانگر ساده ای  و دامنه نوسان آن 5cm است. سرعت این نوسانگر در لحظه ای كه تا مركز 4cm فاصله دارد چند متر بر ثانیه است؟ (آزاد ریاضی 82)

معادله شتاب زمان: اگراز معادله سرعت مشتق بگیریم، معادله شتاب بدست می‌آید. بازهم دقت كنید كه پشت عبارت مثلثاتی مقدار ماكزیمم تابع (شتاب بیشینه) قرار دارد.

بررسی شتاب: به طور كلی نیروی فنر باعث ایجاد شتاب وزنه متصل به آن می‌شود بدیهی است وقتی كه فنر بیشترین فشردگی یا بیشترین باز شدگی را (در ابتدا و انتهای مسیر) داشته باشد بیشترین نیرو را خواهد داشت و شتابش بیشینه است. وقتی فنر دارای طول عادی می شود (در مركز نوسان) هیچ نیروی كشسانی ندارد سپس شتاب در مركز نوسان صفر می شود.

نتیجه گیری: با مقایسه روابط بعد و شتاب به این نتیجه می رسیم كه هر دو معادله سینوسی ولی با علامت قرینه هستند. بنابراین می‌توان گفت: 1- در تمام نقاط مسیر بعد با شتاب متناسب است. 2- در همه جا بعد و شتاب از نظر علامتی قرینه هم می‌باشند مثلاً در ربع اول و دوم كه بعد مثبت است شتاب منفی است.

H مثال 17: معادله حركت ذره ای در SI به صورت  می‌باشد شتاب این ذره در لحظه  ثانیه چند متر بر مجذور ثانیه است؟  (آزاد ریاضی 83)

 H مثال 18: در یك حركت نوسانی ساده با دوره  ثانیه، بیش ترین مقدار شتاب را تعیین كنید به شرطی كه سرعت عبور وزنه هنگام عبور از وضع تعادل  باشد؟

فرمول مستقل از زمان: با مقایسه دو رابطه زیر می بینیم كه اگر  را در معادله بعد ضرب كنیم معادله شتاب بدست می آید.

H مثال 19: در یك حركت نوسانی معادله شتاب در SI به صورت  می باشد دوره نوسان چند ثانیه است؟

معادله نیرو زمان: قبلاً نیز اشاره كردیم كه در مركز نوسان چون فنر طول عادی خود را دارد پس نیرویش صفر است اما در بالاترین و پایین ترین نقطه نیرو بیشینه است.

H مثال 20: ذره ای به جرم 2gr حركت نوسانی ساده با دامنه 5cm انجام می دهد. اگر بیشینه سرعت ذره معادل  باشد بیشینه نیروی وارد بر آن چند نیوتن است؟

دوره وزنه متصل به فنر: اگر وزنه ای به جرم M را به یك فنر قائم بیاویزیم فنر بدلیل خاصیت كشسانی شروع به نوسان می كند هرچه وزنه آویخته شده سنگین تر باشد دوره تناوب بیشتر است یعنی مدت زمان بیشتری طول می كشد تا یك نوسان كامل انجام شود. اما هرچه ثابت فنر بیشتر باشد دوره تناوب كم می شود یعنی وزنه سریعتر حركت می كند.

J نكته 6: چون در رابطه بالا عامل شتاب جاذبه یعنی g وجود ندارد بنابراین اگر وزنه متصل به فنر را درون یك سفینه فضایی یا كره ماه ببریم دوره آن فرقی نمی كند.

ثابت فنر: می توانیم رابطه فوق را به صورت زیر نیز نوشته و ثابت فنر را بدست آوریم:

¤


H مثال 21: به انتهای یك فنر با جرم ناچیز وزنه 500 گرمی می آویزیم و آن را در راستای قائم و دامنه كم به نوسان در می آوریم. اگر ثابت فنر  باشد وزنه در هر دقیقه چند نوسان كامل انجام می دهد؟  (سراسری ریاضی 83)

J نكته 7:

H مثال 22: در شكل مقابل وزنه به حالت تعادل قرار دارد. اگر آنرا 10cm به آرامی پایین بكشیم و رها كنیم سرعت وزنه در لحظه ای كه پس از رها شدن 2cm بالا رفته است، چند متر بر ثانیه می باشد

J نكته 8:

 H مثال 23: وزنه M را به یك انتهای فنری با ثابت K می آویزیم دوره تناوب T می‌شود، سپس فنر را نصف می كنیم و به یكی از قسمتهای بریده شده وزنه 4M را می‌آویزیم دوره تناوب  می شود نسبت  چند است؟

تكلیف

انرژیها: 1- انرژی جنبشی: می دانیم كه این نوع انرژی با سرعت نسبت مستقیم دارد پس انرژی جنبشی در ابتدا و انتهای مسیر صفر و در مركز نوسان (بدلیل بیشینه بودن سرعت) ماكزیمم مقدار را دارد.

در ضمن رابطه دیگری نیز بین بعد و انرژی جنبشی وجود دارد كه منظور از  ثابت فنر است.

J نكته 9 (حسودی طرفین رابطه ها از نوع ماكزیممی): در كلیه روابط فیزیكی هرگاه یكی از طرفین رابطه دارای كمیتی ماكزیمم دار باشد طرف دیگر هم دارای ماكزیمم می شود مثلاً اگر در رابطه  مقدار سرعت، بیشینه شود انرژی جنبشی هم بیشینه می‌شود.

 H مثال 24: اگر گلوله ای به جرم 20 گرم دارای حركت نوسانی ساده به معادله  باشد بیشینه انرژی جنبشی آن چند ژول است؟

2- انرژی پتانسیل: می دانیم كه انرژی پتانسیل كشسانی یك فنر در موقعیتی به حداكثر خود می رسد كه بیشترین تغییر طول را در فنر داشته باشیم پس انرژی پتانسیل در ابتدا و انتهای مسیر بیشینه و در مركز نوسان صفر است.

                                     ثابت فنر: K

                             (ymax=A) طبق نكته 9 می توان نوشت

انرژی كل یا انرژی مكانیكی: مجموع انرژی های جنبشی و پتانسیل می باشد كه در تمام نقاط مسیر انرژی مكانیكی ثابت است اما هرچه به طرف مركز نوسان برویم از انرژی پتانسیل كاسته شده و به همان میزان به انرژی جنبشی افزوده می شود.

اگر به شكل زیر توجه كنید می بینید كه هرجا انرژی پتانسیل صفر است.

انرژی جنبشی بیشینه است و بالعكس پس هر كدام از انرژی های جنبشی یا پتانسیل كه بیشینه شوند خودشان به تنهایی انرژی كل هستند.

پس انرژی كل دارای 2 رابطه است كه برحسب نیاز استفاده می شود.

                     و یا                               

H مثال 25: یك ذره به جرم 2 گرم دارای حركت نوسانی با دامنه  متر است. اگر انرژی مكانیكی ذره 0.064 ژول باشد دوره حركت آن چند ثانیه است؟

H مثال 26: در لحظه ای كه بعد یك نوسانگر  بعد ماكزیمم آن است، انرژی پتانسیل چند برابر انرژی كل است؟ انرژی جنبشی چند برابر انرژی كل است؟

H مثال 27: در لحظه ای كه انرژی جنبشی نوسانگر ساده 8 برابر انرژی پتانسیل آن است. بعد نوسانگر چه كسری از دامنه نوسان می‌باشد؟ (آزاد ریاضی 82)


J نكته 10:

 H مثال 28: در لحظه ای كه فاز حركت یك نوسان گر  است انرژی جنبشی آن 0.02 می باشد. انرژی مكانیكی نوسانگر چند ژول است؟

نتیجه گیری: به طور كلی كمیتهای بعد و شتاب و نیرو و انرژی پتانسیل همگی تابع سینوس هستند اما سرعت و انرژی جنبشی تابع كسینوس می باشند.

تشدید: اگر به نوسانگر یك نیروی دوره ای اعمال شود و بسامد نیرو با بسامد نوسانگر یكسان باشد (مثلاً وقتی شخصی را روی یك تاب هل می دهیم) دامنه نوسان تا مقدار بیشینه ای افزایش می یابد و از آن پس حركت نوسانی بدون كاهش دامنه ادامه می یابد در مورد آونگ ها اگر هم طول باشند دوره تناوب و بسامد آنها نیز با هم برابر بوده و می توانند تشدید انجام دهند.

بررسی نمودارها: به طور كلی چون رابطه سرعت كسینوسی است پس هنگامیكه می خواهیم نمودار سرعت زمان را از روی بعد زمان ترسیم كنیم باید آنرا  جلوتر ببریم و چون معادله شتاب منفی سینوسی است بنابراین به اندازه  از نمودار سرعت جلوتر بوده و به اندازه  از نمودار بعد جلوتر است.

تعیین معادله از روی نمودار: همیشه نمودار (بعد- زمان) از نقطه ای بنام y0 شروع می شود. باید ببینیم كه محور Yها كدام ربع را قطع كرده است پس  در همان ربع قرار دارد و یا می توانیم با (توجه به جهت شیب نمودار) علامت سرعت را تعیین كرده و با توجه به علامت y0 ربعی كه مربوط به  می شود را حدس بزنیم مثلاً اگر y0 منفی باشد یا ربع سوم و یا ربع چهارم است به عنوان مثال در شكل های زیر  را در 4 ربع مختلف نشان داده ایم.

قیمت فایل فقط 11,000 تومان

خرید

برچسب ها : بررسی تعریف نوسان , بررسی معادله بعدزمان , نیم دایره های طلایی

نظرات کاربران در مورد این کالا
تا کنون هیچ نظری درباره این کالا ثبت نگردیده است.
ارسال نظر