امروز: دوشنبه 26 آذر 1397
دسته بندی محصولات
بخش همکاران
بلوک کد اختصاصی

كاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال كانولوشن

كاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال كانولوشن دسته: ریاضی
بازدید: 4 بار
فرمت فایل: doc
حجم فایل: 1751 کیلوبایت
تعداد صفحات فایل: 67

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد كه آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل كرده است نخست به كمك آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل كرد دوم، در این تبدیل مقادیر اولیة متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفك فرایند تبدیل اند ام

قیمت فایل فقط 18,700 تومان

خرید

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                                     صفحه

كابرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار....................................................................... 1

16-1- مقدمه......................................................................................................... 1

16-2- عناصر مدار در حوزة s.............................................................................. 2

16-3- تحلیل مدار در حوزة s............................................................................... 9

16-4 چند مثال تشریحی....................................................................................... 10

16-5 تابع ضربه در تحلیل مدار............................................................................. 28

16-6 خلاصه......................................................................................................... 46

17-5- تابع تبدیل و انتگرال كانولوشن.................................................................. 48

 مراجع.................................................................................................................... 64

كاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار

16-1- مقدمه

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد كه آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل كرده ات. نخست به كمك آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل كرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیة متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفك فرایند تبدیل اند. اما در روشهای كلاسیك حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند كه می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه كنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به كمك تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش 15-7 اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف كنندة مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزةs به دست آوریم. این امر به ما امكان می دهد كه مداری بسازیم كه مستقیماً در حوزة تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزة sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده كرد و معادلات جبری توصیف كنندة مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند كه تبدیل عكس آنها را به كمك تجزیه به كسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم كه جوابهای به دست امده با شرایط اولیة مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش 16-2- هم از عناصر را در حوزة s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزة s باید دانست كه بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزة s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزة s یكای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یكای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

16-2- عناصر مدار در حوزة s

روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزة s ساده است. نخست رابطة ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم. سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطة جبری میان ولتاژ و جریان در حوزة s به دست می آید. سرانجام مدلی می سازیم كه رابطة میان جریان و ولتاژ در حوزة s را برآورد سازد. در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به كار می بریم.

نخست از مقاومت شروع میكنیم، بنا به قانون اهم داریم

(16-1)                                                                                     

از آنجا كه R ثابت است، تبدیل لاپلاس معادلة (16-1) چنین است .

(16-2)                                                                             V=RI

كه در آن

بنا به معادلة (16-2) مدار هم ارز یك مقاومت در حوزة s مقاومتی برابر R اهم است كه جریان آن Iآمپر – ثانیه و ولتاژ آن V ولت –ثانیه است.

مدارهای مقاومت در حوزة زمان و حوزه بسامد در شكل 16-1 دیده می شود به یاد داشته باشید كه در تبدیل مقاومت از حوزة زمان به حوزة بسامد تغییری در آن ایجاد نمی شود.

القاگری با جریان اولیة Io در شكل 16-2 آمده است. معادلة ولتاژ و جریان آن در حوزة زمان چنین است.

شكل 16-1- مقاومت در الف) حوزة زمان ،ب) حوزة بسامد.

شكل 16-2- القا گر L هانری با جریان اولیه Io آمپر.

در حوزة زمان چنین است

(16-3) 

پس از تبدیل لاپلاس گرفتن از معادلة (16-3) داریم

(16-4)                                                         

به كمك دو مدار مختلف می توان معادلة (16-4) را تحقق بخشید. مدار هم از اول مداری است متشكل از یك امپدانس sL اهمی كه با یك منبع ولتاژ مستقل LIo ولت ثانیه ای متوالی است. این مدار در شكل 16-3 دیده می شود در بررسی مدار هم ارز حوزة بسامدی شكل 16-3 توجه كنید كه جهت ولتاژ منبع LIo بر مبنای علامت منفی مجود در معادله (16-4) است توجه به این نكته نیز اهمیت دارد كه Io علامت جبری مخصوص به خود را دارد. یعنی چنانچه مقدار اولیة I خلاف جهت مبنای I باشد آنگاه Io مقدار منفی دارد.

مدار هم از دیگری كه معادله (16-4) را برآورده، می سازد متشكل است از یك امپدانس

SL اهمی كه با یك منبع جریان مستقل Io/s آمپر ثانیه ای موازی است. این مدار هم ارز در شكل 16-4 آمده است.

برای به دست آوردن مدار هم از شكل 16-4 راههای مختلفی موجود است. یكی از این راهها حل معادلة (16-4) نسبت به جریان I و ساخت مداری بر حسب معادلة به دست آمده بنابراین

(16-5)                                               

به سادگی مشاهده می شود كه مدار شكل 16-4 معادلة (16-5) را برآورده می سازد دو راه دیگر به دست آوردن مدار شكل 16-4 عبارت اند از (1) به دست اوردن هم از نور تن مدار شكل (16-3، (2) به دست آوردن  جریان القا گر بر حسب ولتاژ آن و گرفتن تبدیل لاپلاس از معادلة به دست آمده این دو روش به صورت تمرین در مسائل 16-1 و 16-2 به خواننده واگذار می شود.

قابل توجه است كه هرگاه انرژی اولیة ذخیره شده در القا گر صفر باشد یعنی اگر Io=o مدار هم ارز القا گر در حوزة بسامد به صورت القا گری با امپدانس sL اهم در می آید. این مدار در شكل 16-5 آمده است.

برای خازنهای با بار اولیه نیز دو مدار هم ارز در حوزة s وجود دارد. خازنی كه با بار اولیة Vo ولت در شكل 16-6 دیده می شود. جریان خازن چنین است.

شكل 16-5 مدار خوزة بسامدی القاگری با جریان اولیه صفر.

شكل 16-6- خازنی C فارادی كه تاVo ولت بار دار شده است.

(16-6)                                                         

پس از تبدیل معادلة (16-6) داریم

یا

(16-7)                                            I=sCV-CVo

از معادله فوق دیده می شود كه جریان I در حوزة بسامد از دو جریان شاخه ای تشكیل می شود یكی از شاخه ها از یك گذارایی به مقدار sc مو و دیگری از یك منبع جریان مستقل CVo آمپر ثانیه ای تشكیل  می شود. این مدار هم ارز در شكل 16-7 آمده است.

از حل معادلة (16-7) نسبت به V می توان مدار هم ارز متوالی خازن باردار را به دست آورد. بنابراین داریم

(16-8)                                                         

مداری كه در شكل 16-8 آمده است تحقق معادلة (16-8) است.

در مدارهای هم ارز شكلهای 16-7 و 16-8، علامت جبری خود را دارد. یعنی اگر جهت  خلاف جهت مبنای  باشد  مقداری منفی خواهد بود. اگر ولتاژ اولیه خازن صفر باشد مدارهای هم ارز ساده می شوند و تنها امپدانس sc/1 اهمی باقی می ماند كه در شكل 16-9 آمده است.

مدارهای حوزه بسامدی به دست آمده در این بخش در جدول 16-1 آمده اند. كاربرد این مدارها در بخش 16-4 نشان داده خواهد شد.

جدول 1016 مدارهای هم ارز در حوزة s 


شكل 16-9 مدار حوزة بسامدی خازنی با ولتاژ اولیة صفر

16-3- تحلیل مدار در حوزة s

پیش از بررسی مدارها در حوزة s به ذكر چند نكته می پردازیم كه اساس تمام كارهای بعدی ماست.

نخست میدانیم كه چنانچه در القا گر و خازنها انرژی اولیه نداشته باشیم رابطة ولتاژ و جریان آنها چنین است.

(16-9)                                      V=ZI

كه در آن Z امپدانس (پاگیرایی) عنصر در حوزة s است. به این ترتیب امپدانس مقاومت R اهم، امپدانس القا گر sL اهم، و امپدانس خازن sC/1 اهم است. نكته ای كه در معادلة (16-9) آمده است، در شكلهای 16-1(ب)، 16-5، و 16-9 مشخص شده است. گاه معادلة (16-9) را قانون اهم در حوزة s می نامند.

عكس پاگیرایی، گذارایی، گذاراییها در حوزة s دقیقاً همان قواعد تركیب آنها در حوزة فازبرداری است. در تحلیل  حوزة بسامدی می توان از ساده كردنهای متوالی و موازی و تبدیلهای ستاره – مثلث استفاده كرد.

نكتة مهم دیگر این است كه قوانین كبرشهف را می توان برای جریانها و ولتاژهای حوزة s به كار برد. دلیل این امراین است  كه بنا به خواص تبدیل عملیات، تبدیل لاپلاس مجموع چند تابع در حوزة زمان برابر مجموع تبدیل لاپلاسهای یكایك توابع است( جدول 15-2 را ببینید) بنابراین از آنجا كه جمع جبری جریانها در یك گروه در حوزة زمان صفر است، جمع جبری جریانهای تبدیل شده نیز صفر خواهد بود. همچنین جمع جبری ولتاژهای تبدیل شده حول مسیری بسته صفر است. قوانین كیرشهف در حوزة s چنین اند.

(16-10)                           ها ) جبری

(16-11)                           V)=o ها) جبری

نكتة سوم مبتنی بر درك مفاهیم نهفته در دو نكتة اول است. ازآنجا كه ولتاژ  و جریان در پایانه های عناصر غیر فعال به وسیلة معادلاتی جبری به هم مربوط می شوند و قانون كیرشهف همچنان برقرار است، پس كلیة روشهای تحلیل شبكه های مقاومتی را میتوان در تحلیل مدارها در حوزة بسامد به كار برد. بنابراین حتی اگر در القا گرها و خازنها انرژی اولیة ذخیره شده باشد روشهای ولتاژ گره، جریان خانه، تبدیل منابع، هم ارزهای تونن- نورتن و روشهای معتبری هستند. چنانچه در مدار انرژی اولیه ذخیره شده باشد باید معادلة (16-9) را تغییر داد این تغییر بسیار ساده است و كافی است به كمك قوانین كیرشهف منابع مستقل لازم را با امپدانس عناصر موازی یا متوالی كرد.

16-4 چند مثال تشریحی

برای نشان دادن چگونگی استفاده از تبدیل لاپلاس در تعیین رفتار گذرای مدارهای خطی با پارامترهای فشرده، مدارهای تحلیل شده در فصلهای 6،7و8 را به كار می بریم. علت تحلیل این مدارهای آشنا این است كه وقتی در یابیم نتایج به دست آمده با نتایج قبلی یكسان است، به توانایی خود در تحلیل مدارها به كمك روش تبدیل لاپلاس اطمینان می یابیم.

نخستین مداری كه تحلیل خواهیم كرد مدار شكل 16-10 است. بار اولیة خازن  ولت است و می خواهیم روابط iو  را در حوزة زمان به دست اوریم. از آنجا كه این مدار قبلا در فصل 6 تحلیل شده است می توانید پیش از پرداختن به تحلیل حاضر، بخش 6-3 را مرور كنید.

كار را با یافتنi شروع می كنیم. برای تبدیل مدار شكل 16-10 به حوزة s دو مدار هم ارز برای خازن باردار وجود دارد. از آنجا كه مطلوب ما جریان است مدار هم ارز متوالی جالبتر است زیرا به كمك آن به مداری با تنها یك خانه در حوزة بسامد دست می یاییم.


شكل 16-10- مدار تخلیة خازن

بنابراین مدار حوزه بسامدی شكل 16-11 را می سازیم.

از جمع ولتاژ ها حول خانة شكل 16-11 داریم.

(16-12)                                    

از حل معادلة (16-12) نسبت به I داریم

(16-13)                          

قیمت فایل فقط 18,700 تومان

خرید

برچسب ها : كاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال كانولوشن , تابع تبدیل و انتگرال كانولوشن , تابع ضربه در تحلیل مدار

نظرات کاربران در مورد این کالا
تا کنون هیچ نظری درباره این کالا ثبت نگردیده است.
ارسال نظر